Perbedaan Antara Saling Eksklusif dan Acara Independen

Saling Eksklusif vs Acara Independen

Orang sering bingung konsep acara yang saling eksklusif dengan acara independen. Sebenarnya, ini adalah dua hal yang berbeda.

Misalkan A dan B adalah dua peristiwa apa pun yang terkait dengan eksperimen acak E. P (A) disebut "Probabilitas A". Demikian pula, kita dapat mendefinisikan probabilitas B sebagai P (B), probabilitas A atau B sebagai P (A∪B), dan probabilitas A dan B sebagai P (A∩B). Kemudian, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Namun, dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika kejadian satu peristiwa tidak memengaruhi lainnya. Dengan kata lain, mereka tidak dapat terjadi secara bersamaan. Oleh karena itu, jika dua peristiwa A dan B saling eksklusif maka A∩B = ∅ dan karenanya, itu menyiratkan P (A∪B) = P (A) + P (B).

Biarkan A dan B menjadi dua peristiwa dalam ruang sampel S. Probabilitas bersyarat dari A, mengingat bahwa B telah terjadi, dilambangkan dengan P (A | B) dan didefinisikan sebagai; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), asalkan P (B)> 0. (Kalau tidak, itu tidak didefinisikan.)

Suatu peristiwa A dikatakan independen dari suatu peristiwa B, jika probabilitas bahwa A terjadi tidak dipengaruhi oleh apakah B telah terjadi atau tidak. Dengan kata lain, hasil dari acara B tidak berpengaruh pada hasil acara A. Oleh karena itu, P (A | B) = P (A). Demikian pula, B tidak tergantung pada A jika P (B) = P (B | A). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa jika A dan B adalah peristiwa independen, maka P (A∩B) = P (A) .P (B)

Asumsikan bahwa kubus bernomor digulung dan koin yang adil dibalik. Biarkan A menjadi acara yang mendapatkan kepala dan B menjadi acara yang menggulirkan angka genap. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa peristiwa A dan B bersifat independen, karena hasil dari yang satu tidak mempengaruhi hasil yang lain. Oleh karena itu, P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Karena P (A∩B) ≠ 0, A dan B tidak dapat saling eksklusif.

Misalkan sebuah guci berisi 7 kelereng putih dan 8 kelereng hitam. Tentukan acara A sebagai menggambar marmer putih dan acara B sebagai menggambar marmer hitam. Dengan asumsi setiap marmer akan diganti setelah mencatat warnanya, maka P (A) dan P (B) akan selalu sama, tidak peduli berapa kali kita menggambar dari guci. Mengganti kelereng berarti probabilitas tidak berubah dari menggambar ke menggambar, tidak peduli apa warna yang kita ambil pada penarikan terakhir. Karenanya, acara A dan B bersifat independen.

Namun, jika kelereng ditarik tanpa penggantian, maka semuanya berubah. Berdasarkan asumsi ini, peristiwa A dan B tidak independen. Menggambar marmer putih pertama kali mengubah probabilitas untuk menggambar marmer hitam pada undian kedua dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap undian memiliki efek pada undian berikutnya, sehingga undian individu tidak independen.