Perbedaan Antara Transformasi Laplace dan Fourier

Laplace vs Fourier Transforms
 

Transformasi Laplace dan Transformasi Fourier merupakan transformasi integral, yang paling umum digunakan sebagai metode matematika untuk menyelesaikan sistem fisik yang dimodelkan secara matematis. Prosesnya sederhana. Model matematika yang kompleks diubah menjadi model yang lebih sederhana dan dapat dipecahkan menggunakan transformasi integral. Setelah model yang lebih sederhana diselesaikan, transformasi integral terbalik diterapkan, yang akan memberikan solusi untuk model asli.

Sebagai contoh, karena sebagian besar sistem fisik menghasilkan persamaan diferensial, mereka dapat dikonversi menjadi persamaan aljabar atau ke tingkat yang lebih rendah persamaan diferensial mudah dipecahkan menggunakan transformasi integral. Maka memecahkan masalah akan menjadi lebih mudah.

Apa itu transformasi Laplace?

Diberi fungsi f (t) dari variabel nyata t, Transformasi Laplace-nya didefinisikan oleh integral (Setiap kali ada), yang merupakan fungsi dari variabel kompleks s. Biasanya dilambangkan dengan L f (t). Transformasi Laplace terbalik dari suatu fungsi F(s) diambil sebagai fungsi f (t) sedemikian rupa sehingga L f (t) = F(s), dan dalam notasi matematika yang biasa kita tulis, L ^-1F(s) = f (t).Transformasi terbalik dapat dibuat unik jika fungsi null tidak diizinkan. Seseorang dapat mengidentifikasi dua ini sebagai operator linier yang didefinisikan dalam ruang fungsi, dan juga mudah untuk melihatnya, L ^-1L f (t) = f (t), jika fungsi nol tidak diizinkan.

Tabel berikut mencantumkan transformasi Laplace dari beberapa fungsi paling umum.

Apa itu transformasi Fourier?

Diberi fungsi f (t) dari variabel nyata t, Transformasi Laplace-nya didefinisikan oleh integral (setiap kali ada), dan biasanya dilambangkan dengan F f (t). Transformasi terbalik F ^-1F(α) diberikan oleh integral . Transformasi Fourier juga linier, dan dapat dianggap sebagai operator yang didefinisikan dalam ruang fungsi.

Menggunakan transformasi Fourier, fungsi asli dapat ditulis sebagai berikut asalkan fungsi hanya memiliki jumlah diskontinuitas terbatas dan benar-benar dapat diintegrasikan.

Apa perbedaan antara Laplace dan Fourier Transforms?

• Transformasi Fourier dari suatu fungsi f (t) didefinisikan sebagai , sedangkan Transformasi Laplace didefinisikan sebagai .
• Transformasi Fourier didefinisikan hanya untuk fungsi yang didefinisikan untuk semua bilangan real, sedangkan Transformasi Laplace tidak memerlukan fungsi untuk didefinisikan pada set bilangan real negatif.
• Transformasi Fourier adalah kasus khusus dari transformasi Laplace. Dapat dilihat bahwa keduanya bertepatan dengan bilangan real non-negatif. (mis. ambil s di Laplace menjadi iα + β dimana α dan β nyata seperti itu e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Setiap fungsi yang memiliki transformasi Fourier akan memiliki transformasi Laplace tetapi tidak sebaliknya.