Perbedaan Antara Integrasi dan Penjumlahan

Integrasi vs Penjumlahan
 

Dalam matematika SMA di atas, integrasi dan penjumlahan sering ditemukan dalam operasi matematika. Mereka tampaknya digunakan sebagai alat yang berbeda dan dalam situasi yang berbeda, tetapi mereka berbagi hubungan yang sangat dekat.

Lebih lanjut tentang Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi penambahan urutan angka dan operasi sering dilambangkan dengan huruf Yunani sigma modal Σ. Ini digunakan untuk menyingkat penjumlahan dan sama dengan jumlah / total urutan. Mereka sering digunakan untuk mewakili seri, yang pada dasarnya adalah urutan tak terbatas diringkas. Mereka juga dapat digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks, atau polinomial.

Penjumlahan biasanya dilakukan untuk rentang nilai yang dapat diwakili oleh istilah umum, seperti seri yang memiliki istilah umum. Titik awal dan titik akhir penjumlahan masing-masing dikenal sebagai batas bawah dan batas atas penjumlahan.

Misalnya, jumlah urutan a₁, Sebuah₂, Sebuah₃, Sebuah₄, … , Sebuah_n adalah₁ + Sebuah₂ + Sebuah₃ +... + a_n yang dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan sebagai asⁿ_{i = 1} Sebuah_saya; saya disebut indeks penjumlahan.

Banyak variasi yang digunakan untuk penjumlahan berdasarkan aplikasi. Dalam beberapa kasus, batas atas dan batas bawah dapat diberikan sebagai interval atau rentang, seperti_1≤i≤100 Sebuah_saya dan ∑_{i∈ [1.100]} Sebuah_saya. Atau dapat diberikan sebagai satu set angka seperti_i∈P Sebuah_saya , di mana P adalah himpunan yang ditentukan.

Dalam beberapa kasus, dua atau lebih tanda sigma dapat digunakan, tetapi mereka dapat digeneralisasi sebagai berikut; ∑_j ∑_k Sebuah_jk = ∑_{j, k} Sebuah_jk.

Juga, penjumlahan mengikuti banyak aturan aljabar. Karena operasi yang disematkan adalah tambahan, banyak aturan umum aljabar dapat diterapkan pada penjumlahan itu sendiri dan untuk istilah individual yang digambarkan oleh penjumlahan.

Lebih lanjut tentang Integrasi

Integrasi didefinisikan sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Namun dalam tampilan geometrisnya juga dapat dianggap sebagai area yang dilingkupi oleh kurva fungsi dan sumbu. Oleh karena itu, perhitungan area memberikan nilai integral yang pasti seperti yang ditunjukkan pada diagram.

Sumber Gambar: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Nilai integral tertentu sebenarnya adalah jumlah dari strip kecil di dalam kurva dan sumbu. Luas setiap strip adalah tinggi × lebar pada titik pada sumbu yang dipertimbangkan. Lebar adalah nilai yang bisa kita pilih, katakanlah ∆x. Dan tinggi kira-kira nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakanlah f(x_saya). Dari diagram, terbukti bahwa semakin kecil strip semakin baik strip masuk di dalam area yang dibatasi, maka perkiraan nilai yang lebih baik.

Jadi, secara umum integral yang pasti saya, antara titik a dan b (yaitu dalam interval [a, b] di mana asaya ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, dengan n adalah jumlah strip (n = (b-a) / ∆x). Penjumlahan area ini dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan sebagai saya ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_saya) ∆x. Karena perkiraan lebih baik ketika ∆x lebih kecil, kita dapat menghitung nilai ketika ∆x → 0. Karena itu, masuk akal untuk mengatakan saya = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_saya) ∆x.

Sebagai generalisasi dari konsep di atas, kita dapat memilih ∆x berdasarkan interval yang dianggap diindeks oleh i (memilih lebar area berdasarkan posisi). Lalu kita dapatkan

saya= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_saya) ∆x_saya = _Sebuah∫^b f(x) dx

Ini dikenal sebagai Integral fungsi Reimann f(x) dalam interval [a, b]. Dalam hal ini a dan b dikenal sebagai batas atas dan batas bawah integral. Reimann integral adalah bentuk dasar dari semua metode integrasi.

Intinya, integrasi adalah penjumlahan area ketika lebar persegi panjang sangat kecil.

Apa perbedaan antara Integrasi dan Penjumlahan?

• Penjumlahan menambah urutan angka. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam bentuk iniⁿ_{i = 1} Sebuah_saya ketika istilah dalam urutan memiliki pola dan dapat diekspresikan menggunakan istilah umum.

• Integrasi pada dasarnya adalah area yang dibatasi oleh kurva fungsi, sumbu dan batas atas dan bawah. Area ini dapat diberikan sebagai jumlah dari area yang jauh lebih kecil yang termasuk dalam area yang dibatasi.

• Penjumlahan melibatkan nilai diskrit dengan batas atas dan bawah, sedangkan integrasi melibatkan nilai kontinu.

• Integrasi dapat diartikan sebagai bentuk penjumlahan khusus.

• Dalam metode perhitungan numerik, integrasi selalu dilakukan sebagai penjumlahan.