Perbedaan Antara Derivatif dan Diferensial

Derivatif vs Diferensial
 

Dalam kalkulus diferensial, turunan dan diferensial dari suatu fungsi sangat terkait tetapi memiliki arti yang sangat berbeda, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematika penting yang terkait dengan fungsi terdiferensiasi.

Apa itu turunan?

Turunan dari suatu fungsi mengukur tingkat perubahan nilai fungsi saat inputnya berubah. Dalam fungsi multi-variabel, perubahan nilai fungsi tergantung pada arah perubahan nilai-nilai variabel independen. Oleh karena itu, dalam kasus tersebut, arah tertentu dipilih dan fungsi dibedakan dalam arah tertentu. Derivatif itu disebut turunan terarah. Derivatif parsial adalah jenis turunan terarah khusus.

Turunan dari fungsi bernilai vektor f dapat didefinisikan sebagai batas dimanapun ia ada secara halus. Seperti disebutkan sebelumnya, ini memberi kita tingkat peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor kamu. Dalam kasus fungsi bernilai tunggal, ini mengurangi ke definisi turunan yang terkenal,  

Sebagai contoh, di mana-mana dapat dibedakan, dan turunannya sama dengan batas, , yang sama dengan . Derivatif fungsi seperti   ada di mana-mana. Masing-masing sama dengan fungsi .                                                                                

Ini dikenal sebagai turunan pertama. Biasanya turunan pertama dari fungsi f dilambangkan dengan f ⁽¹⁾. Sekarang menggunakan notasi ini, dimungkinkan untuk menentukan turunan orde tinggi. adalah turunan terarah urutan kedua, dan menunjukkan n^th turunan oleh f ⁽ⁿ⁾ untuk setiap n, ,  mendefinisikan n^th turunan.

Apa itu diferensial??

Diferensial suatu fungsi mewakili perubahan fungsi sehubungan dengan perubahan dalam variabel independen atau variabel. Dalam notasi biasa, untuk fungsi yang diberikan f dari satu variabel x, diferensial total pesanan 1 df adalah diberikan oleh, . Ini berarti bahwa untuk perubahan yang sangat kecil di x(mis. dx), akan ada a  f ⁽¹⁾(x) dx berubah f.

Menggunakan batas seseorang dapat berakhir dengan definisi ini sebagai berikut. Asumsikan ∆x adalah perubahan x pada titik arbitrer x dan ∆f adalah perubahan fungsi yang terkait f. Dapat ditunjukkan bahwa ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, dimana ϵ adalah kesalahannya. Sekarang, batasnya ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (menggunakan definisi derivatif yang dinyatakan sebelumnya) dan karenanya, ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa, ∆x →0ϵ = 0. Sekarang, yang menunjukkan ∆x →0 ∆f seperti df dan ∆x →0 ∆x seperti dx definisi diferensial diperoleh dengan cermat. 

Misalnya perbedaan fungsi adalah .

Dalam kasus fungsi dua variabel atau lebih, diferensial total suatu fungsi didefinisikan sebagai jumlah diferensial dalam arah masing-masing variabel independen. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai .