Perbedaan Antara Integral Pasti dan Tidak Terbatas

Kalkulus adalah cabang penting matematika, dan diferensiasi memainkan peran penting dalam kalkulus. Proses kebalikan dari diferensiasi dikenal sebagai integrasi, dan kebalikannya dikenal sebagai integral, atau sederhananya, kebalikan dari diferensiasi memberikan integral. Berdasarkan hasil mereka menghasilkan integral dibagi menjadi dua kelas yaitu, integral pasti dan tidak terbatas.

Integral yang pasti

Integral pasti dari f (x) adalah NUMBER dan mewakili area di bawah kurva f (x) dari x = a untuk x = b.

Integral pasti memiliki batas atas dan bawah pada integral, dan itu disebut pasti karena, pada akhir masalah, kami memiliki nomor - itu adalah jawaban yang pasti.

Integral Tidak Terbatas

Integral tak terbatas dari f (x) adalah FUNGSI dan menjawab pertanyaan, “Apa fungsi ketika dibedakan f (x)?”

Dengan integral tak terbatas tidak ada batas atas dan bawah pada integral di sini, dan apa yang akan kita dapatkan adalah jawaban yang masih ada xAda di dalamnya dan juga akan memiliki konstanta (biasanya dilambangkan dengan C) di dalamnya.

Integral tak terbatas biasanya memberikan solusi umum untuk persamaan diferensial.

Integral tak terbatas lebih merupakan bentuk umum dari integrasi, dan dapat diartikan sebagai anti-turunan dari fungsi yang dipertimbangkan.

Misalkan diferensiasi fungsi F mengarah ke fungsi lain f, dan integrasi f memberikan integral. Secara simbolis, ini ditulis sebagai

F (x) = ∫ƒ (x) dx

atau

F = ∫ƒ dx

dimana keduanya F dan ƒ adalah fungsi dari x, dan F dapat dibedakan. Dalam bentuk di atas, itu disebut integral Reimann dan fungsi yang dihasilkan menyertai konstanta arbitrer.

Integral tak terbatas sering menghasilkan keluarga fungsi; oleh karena itu, integralnya tidak terbatas.

Integral dan proses integrasi adalah jantung dari penyelesaian persamaan diferensial. Namun, tidak seperti langkah-langkah dalam diferensiasi, langkah-langkah dalam integrasi tidak selalu mengikuti rutinitas yang jelas dan standar. Kadang-kadang, kita melihat bahwa solusi tidak dapat diekspresikan secara eksplisit dalam hal fungsi dasar. Dalam hal ini, solusi analitik sering diberikan dalam bentuk integral tak terbatas.

Teorema Dasar Kalkulus

Integral pasti dan tidak terbatas dihubungkan oleh Teorema Dasar Kalkulus sebagai berikut: Untuk menghitung suatu integral yang pasti, temukan integral tak terbatas (Juga dikenal sebagai anti-derivatif) dari fungsi dan mengevaluasi pada titik akhir x = a dan x = b.

Perbedaan antara integral yang pasti dan tidak terbatas akan jelas setelah kami mengevaluasi integral untuk fungsi yang sama.

Pertimbangkan integral berikut:

BAIK. Mari kita lakukan keduanya dan lihat perbedaannya.

Untuk integrasi, kita perlu menambahkan satu ke indeks yang mengarahkan kita ke ekspresi berikut:

Pada titik waktu ini C hanyalah sebuah konstanta bagi kita. Informasi tambahan diperlukan dalam masalah untuk menentukan nilai tepat C.

Mari kita evaluasi integral yang sama dalam bentuk yang pasti yaitu, dengan batas atas dan bawah disertakan.

Secara grafis, kami sekarang menghitung area di bawah kurva f (x) = y³ antara y = 2 dan y = 3.

Langkah pertama dalam evaluasi ini sama dengan evaluasi integral yang tidak terbatas. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa kali ini kita tidak menambahkan konstanta C.

Ekspresi dalam hal ini terlihat sebagai berikut:

Ini giliran mengarah ke:

Pada dasarnya, kami mengganti 3 dan kemudian 2 dalam ekspresi dan memperoleh perbedaan di antara mereka.

Ini adalah nilai pasti yang bertentangan dengan penggunaan konstanta C sebelumnya.

Mari kita telusuri faktor konstan (berkenaan dengan integral tak terbatas) dengan lebih detail.

Jika diferensial y³ adalah 3 tahun², kemudian

∫3 tahun²dy = y³

Namun, 3 tahun² bisa menjadi diferensial dari banyak ekspresi yang beberapa di antaranya termasuk y³-5, y³+7, dll ... Ini menyiratkan bahwa pembalikan tidak unik karena konstanta tidak dihitung selama operasi.

Jadi secara umum, 3 tahun² adalah diferensial y³+C dimana C konstan. Kebetulan, C dikenal sebagai 'konstan integrasi'.

Kami menulis ini sebagai:

∫ 3 tahun².dx = y³ + C

Teknik integrasi untuk integral yang tidak terbatas, seperti pencarian tabel atau integrasi Risch, dapat menambah diskontinuitas baru selama proses integrasi. Diskontinuitas baru ini muncul karena anti-derivatif dapat memerlukan pengenalan logaritma kompleks.

Logaritma kompleks memiliki loncatan diskontinuitas ketika argumen melintasi sumbu nyata negatif, dan algoritma integrasi kadang-kadang tidak dapat menemukan representasi di mana lompatan ini membatalkan.

Jika integral tertentu dievaluasi dengan pertama-tama menghitung integral yang tidak terbatas dan kemudian menggantikan batas-batas integrasi ke dalam hasil, kita harus menyadari bahwa integrasi yang tidak terbatas dapat menghasilkan diskontinuitas. Jika ya, maka kita harus menyelidiki diskontinuitas dalam interval integrasi.