Perbedaan Antara Riemann Integral dan Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam pengertian yang lebih jelas, integrasi dapat dilihat sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Saat memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ekspresi yang melibatkan turunan. Dalam situasi seperti itu, operasi integrasi diperlukan untuk menemukan fungsi, yang memberikan turunan tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah proses, yang meringkas produk dari fungsi ƒ (x) dan δx, di mana δx cenderung menjadi batas tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol ∫ sebenarnya adalah apa yang kita peroleh dengan merentangkan huruf s untuk merujuk pada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan fungsi y = ƒ (x). Integral dari y antara Sebuah dan b, dimana Sebuah dan b milik satu set x, ditulis sebagai _b∫^Sebuahƒ (x) dx = [F(x)]_Sebuah→b = F(b) - F(Sebuah). Ini disebut integral tertentu dari fungsi bernilai tunggal dan kontinu y = ƒ (x) antara a dan b. Ini memberi area di bawah kurva antara Sebuah dan b. Ini juga disebut Riemann integral. Riemann integral diciptakan oleh Bernhard Riemann. Integral fungsi Riemann dari fungsi kontinu didasarkan pada ukuran Jordan, oleh karena itu, fungsi Riemann juga didefinisikan sebagai batas jumlah fungsi Riemann. Untuk fungsi bernilai nyata didefinisikan pada interval tertutup, integral Riemann dari fungsi sehubungan dengan partisi x₁, x₂,..., x_n didefinisikan pada interval [a, b] dan t₁, t₂,..., t_n, dimana x_saya ≤ t_saya ≤ x_{i +1} untuk setiap i ε 1, 2,…, n, jumlah Riemann didefinisikan sebagai Σ_{i = o hingga n-1} ƒ (t_saya) (x_{i +1} - x_saya).

Lebesgue Integral

Lebesgue adalah tipe integral lainnya, yang mencakup beragam kasus daripada integral Riemann. Integral lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi legesgue dapat dianggap sebagai generalisasi dari integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mempelajari integral lainnya?

Mari kita perhatikan fungsi karakteristik ƒ_{A (x) = 0 jika, x bukan ε A}^{1 jika, x ε A} pada himpunan A. Kemudian kombinasi linier terbatas dari fungsi karakteristik, yang didefinisikan sebagai F(x) = Σ a_sayaƒE_saya(x) disebut fungsi sederhana jika E_saya dapat diukur untuk setiap i. Integral Lebesgue dari F(x) selesai E dilambangkan dengan _E∫ ƒ (x) dx. Fungsinya F(x) tidak dapat diintegrasikan Riemann. Oleh karena itu integral Lebesgue adalah ulang Riemann integral, yang memiliki beberapa batasan pada fungsi yang akan diintegrasikan.