Perbedaan Antara Power Series dan Taylor Series

Seri Power vs Seri Taylor

Dalam matematika, urutan nyata adalah daftar bilangan real yang diurutkan. Secara formal, ini adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Jika Sebuah_nadalah n^th istilah urutan, kami menyatakan urutan dengan atau oleh Sebuah₁, Sebuah₂,… ,Sebuah_n,.... Sebagai contoh, perhatikan urutan 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,… Ini dapat dilambangkan sebagai 1 / n.

Dimungkinkan untuk menentukan seri menggunakan urutan. Serial adalah jumlah dari syarat-syarat urutan. Oleh karena itu, untuk setiap urutan, ada urutan terkait dan sebaliknya. Jika sebuah_n adalah urutan yang dipertimbangkan, maka, rangkaian yang dibentuk oleh urutan itu dapat direpresentasikan sebagai:                                           

 Jadi, dalam contoh di atas, seri terkait adalah 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Seperti namanya, seri daya adalah jenis seri khusus dan banyak digunakan dalam Analisis Numerik dan pemodelan matematika terkait. Seri Taylor adalah seri kekuatan khusus yang menyediakan cara alternatif dan mudah dimanipulasi untuk mewakili fungsi-fungsi terkenal.

Apa itu seri Power?

Serangkaian kekuatan adalah serangkaian bentuk

    

yang konvergen (mungkin) untuk beberapa interval yang berpusat di c. Koefisien Sebuah_n dapat berupa bilangan real atau kompleks, dan tidak tergantung x; yaitu. variabel dummy.

Misalnya dengan mengatur Sebuah_n= 1 untuk masing-masing n, dan c = 0, seri daya 1 + x + x²+... + xⁿ+… diperoleh. Sangat mudah untuk mengamati bahwa ketika x ε (-1,1), seri daya ini konvergen menjadi 1 / (1-x).          

Serangkaian daya bertemu saat x = c. Nilai-nilai lain dari x di mana seri daya konvergen akan selalu mengambil bentuk interval terbuka yang berpusat di c. Itu adalah, akan ada nilai 0≤ R ≤ ∞ sedemikian rupa untuk masing-masing x memuaskan | x-c | ≤R, seri daya konvergen dan untuk masing-masing x  memuaskan | x-c |>R, seri daya berbeda. Nilai ini R disebut radius konvergensi seri daya (R dapat mengambil nilai nyata atau tak terhingga positif).

Seri daya dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan dan dibagi menggunakan aturan berikut. Pertimbangkan dua seri daya:       

   

                               .

Kemudian,                 

yaitu. istilah suka ditambahkan atau dikurangi bersama. Juga, dimungkinkan untuk melipatgandakan dan membagi dua seri daya menggunakan identitas,

Apa itu seri Taylor?

Seri Taylor didefinisikan untuk suatu fungsi f(x) yang dapat dibedakan secara tak terbatas pada suatu interval. Menganggap f(x) dapat dibedakan pada interval yang berpusat di c. Kemudian seri power yang diberikan oleh

                                                                                                                                

disebut ekspansi seri fungsi Taylor f(x) tentang c. (Sini f⁽ⁿ⁾(c) Menunjukkan n^th derivatif di x = c). Dalam Analisis Numerik, sejumlah istilah dalam ekspansi tak terbatas ini digunakan dalam menghitung nilai pada titik-titik di mana seri ini konvergen dengan fungsi asli.

Sebuah fungsi f(x) dikatakan analitik dalam interval (a, b), jika untuk setiap x ε (a, b), deret Taylor dari f(x) konvergen ke fungsi f(x). Misalnya, 1 / (1-x) adalah analitik pada (-1,1), karena ekspansi Taylor 1 + x + x²+... + xⁿ+... konvergen ke fungsi pada interval itu, dan e^x  adalah analitik di mana-mana, sejak seri Taylor e^xkonvergen ke e^x untuk setiap bilangan real x.

Apa perbedaan antara seri Power dan seri Taylor?

1. Seri Taylor adalah kelas khusus dari rangkaian daya yang hanya ditentukan untuk fungsi yang dapat dibedakan secara tak terbatas pada beberapa interval terbuka.

2. Seri Taylor mengambil bentuk khusus

        

sedangkan, seri daya dapat berupa serangkaian bentuk apa pun