Perbedaan Antara Orthogonal dan Orthonormal

Orthogonal vs Orthonormal

Dalam matematika, dua kata ortogonal dan ortonormal sering digunakan bersama dengan satu set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam arti bahwa itu adalah elemen ruang vektor - struktur aljabar yang digunakan dalam aljabar linier. Untuk diskusi kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalam - ruang vektor V bersama dengan produk dalam [] didefinisikan pada V.

Sebagai contoh, untuk produk dalam, ruang adalah himpunan semua vektor posisi 3 dimensi bersama dengan produk titik biasa.

Apa itu orthogonal??

Subset nonempty S dari ruang produk dalam V dikatakan orthogonal, jika dan hanya jika untuk masing-masing berbeda kamu, v di S, [u, v] = 0; yaitu produk dalam kamu dan v sama dengan skalar nol di ruang produk dalam.

Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan vektor posisi berbeda hal dan q dalam S, hal dan q saling tegak lurus. (Ingat bahwa produk dalam dalam ruang vektor ini adalah produk titik. Juga, produk titik dari dua vektor sama dengan 0 jika dan hanya jika kedua vektor saling tegak lurus.)

Pertimbangkan set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), yang merupakan subset dari vektor posisi 3 dimensi. Perhatikan bahwa (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Oleh karena itu, himpunan S bersifat ortogonal. Secara khusus, dua vektor dikatakan orthogonal jika produk dalamnya adalah 0. Oleh karena itu, setiap pasangan vektor dalam Sbersifat ortogonal.

Apa itu ortonormal??

Subset nonempty S dari ruang produk dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S bersifat ortogonal dan untuk setiap vektor kamu di S, [u, u] = 1. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa setiap himpunan ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.

Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3 dimensi, ini sama dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan vektor posisi berbeda hal dan q di S, hal dan q saling tegak lurus, dan untuk masing-masing hal di S, | p | = 1. Ini karena kondisinya [p, p] = 1 dikurangi menjadi p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, yang setara dengan | p | = 1. Oleh karena itu, mengingat himpunan ortogonal kita selalu dapat membentuk himpunan ortonormal yang sesuai dengan membagi setiap vektor berdasarkan besarnya.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) adalah subset ortonormal dari himpunan semua vektor posisi 3 dimensi. Sangat mudah untuk melihat bahwa itu diperoleh dengan membagi masing-masing vektor dalam himpunan S, oleh besarnya mereka.

Apa perbedaan antara ortogonal dan ortonormal?

• Subset nonempty S dari ruang produk dalam V dikatakan orthogonal, jika dan hanya jika untuk masing-masing berbeda kamu, v di S, [u, v] = 0. Namun, itu adalah ortonormal, jika dan hanya jika kondisi tambahan - untuk setiap vektor kamu di S, [u, u] = 1 puas.
• Setiap set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
• Setiap set ortogonal sesuai dengan set ortonormal yang unik tetapi set ortonormal mungkin sesuai dengan banyak set ortogonal.