Perbedaan Antara Persamaan Diferensial Linier dan Nonlinier

Persamaan Diferensial Linear vs Nonlinear
 

Persamaan yang mengandung setidaknya satu koefisien diferensial atau turunan dari variabel yang tidak dikenal dikenal sebagai persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapat berupa linear atau non-linear. Ruang lingkup artikel ini adalah untuk menjelaskan apa persamaan diferensial linier, apa persamaan diferensial nonlinear, dan apa perbedaan antara persamaan diferensial linear dan nonlinear.

Sejak pengembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh para ahli matematika seperti Newton dan Leibnitz, persamaan diferensial telah memainkan peran penting dalam kisah matematika. Persamaan diferensial sangat penting dalam matematika karena jangkauan aplikasinya. Persamaan diferensial adalah inti dari setiap model yang kami kembangkan untuk menjelaskan setiap skenario atau peristiwa di dunia apakah itu dalam fisika, teknik, kimia, statistik, analisis keuangan, atau biologi (daftar ini tidak ada habisnya). Bahkan, sampai kalkulus menjadi teori yang mapan, alat matematika yang tepat tidak tersedia untuk menganalisis masalah menarik di alam.

Persamaan yang dihasilkan dari aplikasi spesifik kalkulus mungkin sangat kompleks dan kadang-kadang tidak dapat dipecahkan. Namun, ada beberapa yang bisa kita selesaikan, tetapi mungkin terlihat sama dan membingungkan. Oleh karena itu, untuk memudahkan identifikasi, persamaan diferensial dikategorikan berdasarkan perilaku matematikanya. Linear dan nonlinear adalah salah satu kategorisasi tersebut. Penting untuk mengidentifikasi perbedaan antara persamaan diferensial linear dan nonlinear.

Apa itu Persamaan Diferensial Linier?

Seandainya f: X → Y dan f (x) = y, a persamaan diferensial tanpa syarat nonlinear dari fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya dikenal sebagai persamaan diferensial linier.

Ini membebankan kondisi bahwa y tidak dapat memiliki istilah indeks yang lebih tinggi seperti y², y³,… Dan banyak turunan seperti 

Itu juga tidak dapat memuat istilah-istilah non linier seperti Dosa y, e^{y^ -2}, atau ln y. Itu mengambil bentuk, 

dimana y dan g adalah fungsi dari x. Persamaannya adalah persamaan diferensial orde n, yang merupakan indeks turunan orde tertinggi.

Dalam persamaan diferensial linear, operator diferensial adalah operator linear dan solusi membentuk ruang vektor. Sebagai hasil dari sifat linier set solusi, kombinasi linear dari solusi juga merupakan solusi untuk persamaan diferensial. Itu kalau y₁ dan y₂ adalah solusi dari persamaan diferensial, lalu C₁ y₁+ C₂ y₂ juga merupakan solusi.

Linearitas persamaan hanya satu parameter dari klasifikasi, dan selanjutnya dapat dikategorikan ke dalam persamaan diferensial homogen atau non-homogen dan biasa atau parsial. Jika fungsinya g= 0 maka persamaannya adalah persamaan diferensial homogen linier. Jika f adalah fungsi dari dua atau lebih variabel independen (f: X, T → Y) dan f (x, t) = y , maka persamaannya adalah persamaan diferensial parsial linier.

Metode solusi untuk persamaan diferensial tergantung pada jenis dan koefisien persamaan diferensial. Kasus termudah muncul ketika koefisien konstan. Contoh klasik untuk kasus ini adalah hukum gerak kedua Newton dan berbagai aplikasinya. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan diferensial linear orde kedua dengan koefisien konstan.

Apa itu Persamaan Diferensial Nonlinear?

Persamaan yang mengandung istilah nonlinier dikenal sebagai persamaan diferensial non-linear.

 

Semua di atas adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial nonlinier sulit untuk diselesaikan, oleh karena itu, studi yang cermat diperlukan untuk mendapatkan solusi yang tepat. Dalam kasus persamaan diferensial parsial, sebagian besar persamaan tidak memiliki solusi umum. Oleh karena itu, setiap persamaan harus diperlakukan secara independen.

Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamika fluida, persamaan medan Einstein tentang relativitas umum dikenal dengan persamaan diferensial parsial nonlinier. Kadang-kadang penerapan persamaan Lagrange ke sistem variabel dapat menghasilkan sistem persamaan diferensial parsial nonlinier.

Apa perbedaan antara Persamaan Diferensial Linier dan Nonlinier?

• Persamaan diferensial, yang hanya memiliki istilah linier dari variabel tidak diketahui atau dependen dan turunannya, dikenal sebagai persamaan diferensial linier. Ia tidak memiliki istilah dengan variabel dependen indeks lebih tinggi dari 1 dan tidak mengandung kelipatan turunannya. Itu tidak dapat memiliki fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik sehubungan dengan variabel dependen. Setiap persamaan diferensial yang berisi istilah yang disebutkan di atas adalah persamaan diferensial nonlinear.

• Solusi persamaan diferensial linier membuat ruang vektor dan operator diferensial juga merupakan operator linear dalam ruang vektor.

• Solusi persamaan diferensial linear relatif lebih mudah dan ada solusi umum. Untuk persamaan nonlinier, dalam banyak kasus, solusi umum tidak ada dan solusinya mungkin spesifik masalah. Ini membuat solusinya jauh lebih sulit daripada persamaan linear.