Perbedaan Antara Bilangan Rasional dan Irasional

Istilah "angka" mengingatkan kita pada apa yang umumnya diklasifikasikan sebagai nilai integer positif lebih besar dari nol. Kelas nomor lainnya termasuk bilangan bulat dan pecahan, kompleks dan bilangan real dan juga nilai integer negatif.

Memperluas klasifikasi angka lebih jauh, kami temui rasional dan irasional angka. Angka rasional adalah angka yang dapat ditulis sebagai pecahan. Dengan kata lain, angka rasional dapat ditulis sebagai rasio dua angka.

Pertimbangkan, misalnya, nomornya 6. Dapat ditulis sebagai rasio dua angka yaitu. 6 dan 1, mengarah ke rasio 6/1. Juga, 2/3, yang ditulis sebagai pecahan, adalah bilangan rasional.

Kita dapat, dengan demikian, mendefinisikan bilangan rasional, sebagai bilangan yang ditulis dalam bentuk pecahan, di mana pembilang (angka di atas) dan penyebut (angka di bawah) adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, menurut definisi, setiap bilangan bulat juga bilangan rasional.

Rasio dua angka besar seperti (129.367.871)/(547.724.863) akan juga merupakan contoh bilangan rasional karena alasan sederhana bahwa pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat.

Sebaliknya, angka apa pun yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fraksi atau rasio disebut tidak rasional. Contoh bilangan irasional yang paling sering dikutip adalah √2 (1.414213...). Contoh populer lain dari bilangan irasional adalah konstanta numerik π (3.141592 ... ).

Bilangan irasional dapat ditulis sebagai desimal, tetapi bukan sebagai pecahan. Bilangan irasional tidak sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari meskipun mereka ada di garis bilangan. Ada jumlah irasional nomor tak terbatas di antaranya 0 dan 1 pada garis angka. Angka irasional memiliki digit non-berulang tak berujung di sebelah kanan titik desimal.

Perhatikan bahwa nilai yang sering dikutip dari 22/7 untuk konstanta π sebenarnya hanya satu nilai dari π. Menurut definisi, keliling lingkaran dibagi dua kali radiusnya adalah nilai π. Ini mengarah ke beberapa nilai dari π, termasuk, tetapi tidak terbatas pada, 333/106, 355/113 dan seterusnya1.

Hanya akar kuadrat dari angka kuadrat; yaitu, akar kuadrat dari kotak yang sempurna rasional.

√1= 1 (Rasional)

√2 (Irasional)

√3 (Irasional)

√4 = 2 (Rasional)

√5, √6, √7, √8 (Irasional)

√9 = 3 (Rasional) dan sebagainya.

Selanjutnya, kami perhatikan bahwa, hanya nakar th nKekuatannya rasional. Jadi, itu Ke-6 akar dari 64 rasional, karena 64 adalah Ke-6 kekuatan, yaitu Ke-6 kekuatan dari 2. Tetapi Ke-6 akar dari 63 tidak rasional. 63 tidak sempurna 6th kekuasaan.

Tak pelak lagi, representasi desimal dari irasional muncul ke dalam gambar dan menimbulkan beberapa hasil yang menarik.

Ketika kita mengekspresikan a rasional angka sebagai desimal, maka desimal akan menjadi tepat (seperti dalam 1/5= 0,20) atau itu akan terjadi tdk tepat (seperti dalam, 1/3 ≈ 0,3333). Dalam kedua kasus, akan ada pola digit yang dapat diprediksi. Perhatikan bahwa ketika sebuah irasional angka dinyatakan sebagai desimal, maka jelas akan tidak eksak, karena jika tidak, jumlahnya akan rasional.

Selain itu, tidak akan ada pola angka yang dapat diprediksi. Sebagai contoh,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Sekarang, dengan bilangan rasional, kita sesekali bertemu 1/11 = 0,0909090.

Penggunaan kedua tanda sama dengan (=) dan tiga titik (elipsis) menyiratkan bahwa meskipun itu tidak mungkin untuk diungkapkan 1/11 persis seperti desimal, kita masih bisa memperkirakannya dengan angka desimal sebanyak yang diizinkan untuk mendekati 1/11.

Jadi, bentuk desimal dari 1/11 dianggap tidak tepat. Dengan tanda yang sama, bentuk desimal dari  ¼ yaitu 0,25, tepat.

Datang ke bentuk desimal untuk bilangan irasional, mereka akan selalu tidak eksak. Melanjutkan dengan contoh √2, ketika kita menulis √2 = 1.41421356237... (perhatikan penggunaan elipsis), itu langsung menyiratkan bahwa tidak ada desimal untuk √2 akan tepat. Selanjutnya, tidak akan ada pola digit yang dapat diprediksi. Dengan menggunakan konsep dari metode numerik, sekali lagi, kita dapat memperkirakan secara rasional angka desimal sebanyak hingga titik yang dekat dengan kita. √2.

Setiap catatan pada bilangan rasional dan irasional tidak dapat berakhir tanpa bukti wajib mengapa why2 irasional. Dengan demikian, kami juga menjelaskan, contoh klasik dari a bukti berdasarkan contRadiksi.

Misalkan √2 rasional. Ini mengarahkan kita untuk menyatakannya sebagai rasio dua bilangan bulat, katakanlah hal dan q.

√2 = p / q

Tak perlu dikatakan, hal dan q tidak memiliki faktor umum, karena jika ada faktor umum, kami akan membatalkannya dari pembilang dan penyebut.

Mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita berakhir dengan,

2 = p2 / q2

Ini dapat dengan mudah ditulis sebagai,

hal2 = 2q2

Persamaan terakhir menunjukkan itu hal2 bahkan. Ini hanya mungkin jika hal itu sendiri bahkan. Ini pada gilirannya menyiratkan bahwa hal2 habis dibagi 4. Karenanya, q2 dan akibatnya q harus genap. Begitu hal dan q keduanya bahkan merupakan kontradiksi dengan asumsi awal kami bahwa mereka tidak memiliki faktor umum. Jadi, √2 tidak bisa rasional. Q. E..